浅谈庞加莱猜想(上)

释放双眼,带上耳机,听听看~!

引  言

1904 年,在一篇名为《对位相分析学的第五次补充》的论文中,亨利·庞加莱(Henri Poincaré)提出了一个猜想:

在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。

这个猜想所表达的意思到底应该如何理解?难道这就是高深莫测的庞加莱猜想吗?为什么一个连数学符号语言都没有的、完全用自然语言描述的看似“显然”的猜想能困扰历代整整九十九年的数学家?

今天这篇文章就着重来解决这些问题。

正  文

这句话的意思并不难理解。我们先反过来,从一个三维球体 D3 内部的一条封闭曲线开始考虑。下面我们通过数学软件模拟出来这个情形:

其结果为:

现在我们让球内的曲线任意收缩,如图:

最终能收缩成一个点(1)。

不难看出对于球内的任意一条闭合曲线都是这样。也就是说,我们可以观察出来,在 D3中,每一条封闭的曲线都能收缩到一点。而庞加莱猜想,则是把这条看起来显然的定理逆过来,他认为利用每一条能收缩到一点的曲线,能够推导出这些曲线所在的空间的性质。当然,到这里你可能有个问题:就算能够利用曲线的性质推导出它所在空间的性质,但为什么偏偏是球体?为什么不能是其它形体?

(讨论环节。)

其实不一定是球体,也可以是正方体、长方体,甚至可以是(2):

好吧。

我承认心形体确实不大可能,除非设计这个空间的人是个可爱的女孩子。

撇开这些不谈,实际上,上面说到的这些形状,专业名词称之为流形(manifold),通俗地来说被定义为:

局部具有欧几里空间(Euclidean Space)性质的空间。

什么叫做欧几里得空间?

这样讲吧,一维的欧几里得空间就是(实)(3)直线,二维的就是平面,三维的就是立体, 跟我们日常生活中所认识的一样。

在此基础上我们来理解流形。先来一个最贴近我们的例子:现在人类基本上都知道地球近似是一个球体,也就是说它的表面是一个球面,那我们平常生活中出行能感受到这个球面的曲率吗?

“大三角形”虽然是曲边的,

但右下角非常小的三角形就和平面上一样了。

(原图来自维基百科)

显然不能,这是因为在局部上,球面是等价于平面的。这也是为什么古人认为地球是一个大圆盘,因为在不观察月食现象、做环球旅行或是其他实验的情况下,如果不能上太空,人类又无法直接从宇宙中直接观察到地球的整体,只能看到局部,那么自然无法判断地球的真实形体。这就叫做局部具有欧几里得空间性质,也因此我们认为地球的表面是一个二维流形,因为它局部具有平面的性质。

更“数学”一点来说,如果一个空间能够以某种方式投影成 n 维欧几里得空间,那么这个空间就被称作 n 维流形。真正的数学定义其实是这样的:

(还想进一步理解?下课来我办公室啊(不是)。)

而我们前面提到的球体、正方体或是心形体,它们都是三维流形。这里我们要说,它们在点集拓扑上(General Topology)都是等价的。这里的等价有两种概念,第一是同伦(Homotopy) 等价,第二是同胚(Homeomorphism)。也就是说,在拓扑学家(topologist)的世界观中,球体和你所说的正方体、长方体其实都是一样的,没有任何区别(4)。这就是为什么我们说“不一 定是球体”但却用球体来描述该猜想,因为它们在拓扑学里都是一样的。(这里没有压迫, 人人平等!)

先来说说什么是拓扑学,在这里我们引用北大尤承业教授在《基础拓扑学讲义》的引言中所写的内容:

“什么是拓扑学?”这是许多初学者都会提出的问题。拓扑学是一种几何学,它是研究几何图形的。但是拓扑学所研究的并不是大家熟悉的普通的几何性质,而是图形的一类特殊性质,即所谓“拓扑性质”。于是,要了解拓扑学就要知道什么是图形的拓扑性质。然而,尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质,它也具有很强的几何直观,却很难用简单通俗的语言来准确地描述。它的确切定义是用抽象的语言叙述的,这里还不能给出。……以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质,它们涉及到图形在整体结构上的特性,这就是“拓扑性质”。显然,它们与几何图形的大小、形状,以及所含线段的曲直等等都无关,也就不能用普通的几何方法来处理,需要有一种新的几何学来研究它们,这个新学科就是拓扑学。也有人形象地称它为橡皮几何学,因为它研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的。

由于篇幅有限,在该书提到的“几个问题”中我们仅选取 Euler 多面体定理进行详细的叙述,另外的两个问题分别是“七桥问题”和“地图着色问题(四色问题)(5)”,感兴趣的读者可以在网上查一查。

对于 Euler 多面体定理,相信大多数人在学习立体几何的时候一定早有耳闻。它说的是:

然而,既然我们需要的是在弹性形变时不会变化的性质,我们就得抛开多面体来考虑。现在把凸多面体放进一个大球体,并使球心在多面体内部。接着从球心做中心投影,把凸多面体的顶点映射成球面上的节点,棱映射成球面上的曲线(被称为枝)。这些节点和枝构成球面上的一个图,它把球面分割成  f 个面块,有 l 条枝和 v 个节点。如图:

这个图满足:

(1) 每条枝的端点是两个不同的节点;

(2) 不同的枝不会相交于内点;

(3) 每条枝不会自交。在这个意义上,欧拉定理可以推广为:

当球面变形时,可以看出 f , l 和 v 这三个数并不会变化,所以对变形的球面比如椭球面, 或是任何闭的单连通二维流形(这里的闭表示封闭)这个定理仍然成立。要注意,我们这里说的变形,是一种连续的过程,是不发生粘连或者撕裂的变形。在这 种变形下,你不可能把一个球面变成一个环面(6):

否则你必须撕裂这个球面然后再以其他的形式粘连,或者直接把球面的两极下压至粘连再撕裂。这也就意味着,球面和环面之间的一些拓扑性质是不同的。比如上文提到的欧拉定理,如果在环面上存在一个连通的图,那么它必然满足:

不仅是 f – l + v 的得数,还有其他许多不同的性质。比如,我们不难看出,环面比球面在中心多了一个洞,这意味着如果我们像开头那样在环面的内部(我们一般把它叫成甜甜圈)任意画一条闭合的曲线,这条曲线不一定能收缩成一个点(7):

对于上面这种情况,不难看出这条曲线在收缩的时候会被中间的孔洞挡住,从而变成孔洞的形状而无法收缩成一个点。我们把这种情况叫做一维多连通(非一维单连通),把孔洞的个数叫做亏格(genus)。亏格也是一种拓扑性质。

球面显然是一个零亏格曲面,而环面则是一亏格。而对于亏格更大的曲面,比如(8):

它们的 f – l + v 是一个负数,我们把这个由曲面本身的性质决定的数叫做 Euler 数。

注意到,我们在上文对拓扑学的介绍中多次提到了一种连续的变形,这种连续的变形就是我们在开始介绍拓扑学之前就已经提到的两种等价:同伦和同胚。这两种等价关系都不会 改变在上文提到的两个性质,因为亏格和 Euler 数(Euler 示性数)都是同伦不变量,而同伦 不变量一定是拓扑(同胚)不变量。

(讨论环节。)

中日关系是同伦不同胚的,中美关系是不同伦也不同胚的。

了解了这些概念之后,我们再来看庞加莱最初提出的猜想:

在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。

那么大家再来看看这句话,是否真正的符合庞加莱猜想呢?我们将会在下一节给大家做出解释。


作 者:Delta

APC编辑部科普组

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