初等数论入门方法

释放双眼,带上耳机,听听看~!

初等数论入门方法

作 者:Delta

注:“入门方法”指的不是“如何入门初等数论的方法”,而是“入门级的初等数论所使用的方法”。为防止引起歧义在这里提前说明。

在文章开始之前先问一个问题:

√2是整数吗?

答案无非两种:是,或者不是。我相信在场的大多数人都会说不是,因为在大多数人印象中,√2就是一个普通的无理数,而整数则是0,±1,±2…这些。但是我接下来要说的可能会颠覆某些人的想法。

√2确确实实是整数。

想要说明白这个,首先我们要了解代数数的概念:

显然,所有有理数和无理数中能被表示成根号形式的数都是代数数,因为它们肯定是某个有理多项式的根。而代数整数的定义则要更严格一点,它要求:

而很显然我们注意到,x²-2=0满足代数整数所需的多项式条件,那么它的根√2就是代数整数,简称整数。此处的整数是我们所说的有理整数0,±1,±2…的推广,它包含了全体有理整数,并且不包含全体非整数有理数(也就是分母不为1的既约分数)。

回到我们的√2上面来。为什么数学家非要创造一个新定义去把√2定义成整数呢?其实这是代数数论的观点,而代数数论很大程度上是为了解决费马大定理而发展的。为了更一般地解决与不定方程相关的问题,我们需要把整数环的数论性质拓展到更一般的整环上,由此产生了从代数结构去研究整环的代数数论。

(场下观众:停停停停停!怎么越来越多听不懂的名词了?)

好吧,我逐一解释一下这些名词:

当然,代数数论只是数论的一条分支,是为了解决纯数学中出现的问题而产生的。然而这门理论并不能解决所有的数论问题,所以数论也进化出了很多其他的分支,比如解析数论、计算数论、几何数论、超越数论、组合数论等等。总之,为了解决特定的问题,就要发展特定的数学工具,拓展特定的定义——这也是数学上的常用操作:

如果定义不够用,就推广定义;如果推广后还不能满足某些性质,那就修改定义;如果还不行,就抛弃这个定义。

而我们今天主要科普的内容,是数论中最简单的初等数论,也就是主要研究正整数和其相关性质的数论。刚刚的代数数论介绍只是为了吸引大家的注意力,毕竟是整数这个概念彻底颠覆了很多人的观念。其实这只是很常见的认知偏差,你说不是整数,也完全没错,因为你说的这个“整数”是你学了十几年的、初等数论意义下的整数,而非代数数论意义下的代数整数。我的做法只是一种偷换概念的手段罢了。

那么我们正式进入初等数论的科普。以下出现的所有名词都是初等数论意义下的,也就是你记忆里熟知的那些名词。

我们还从我们的主角:√2讲起。现在我要再问大家一个问题:√2是不是有理数?

当然不是!可能有些人被上一个问题搞怕了,但是我需要先纠正大家的观念:

而对于p/q,我们习惯将它们叫做“分数”。我们之前提到的既约分数就是分数的一种,它是为了保证有理数集不含有重复元素而被定义的。那什么是既约分数呢?在谈论晦涩难懂的定义之前,我们先来举几个例子:

聪明的你应该已经发现了不同。我们小学学过一种关于分数的运算,约分。没有被约分干净的分数就不是既约分数,这样是不是就很容易理解了?

同样,下面的知识也是我们在小学就学过的:最大公因数(gcd)和最小公倍数[lcm]。如果两个数的最大公因数是1的话,就说这两个数互素(互质)。如果两数不互素的话,那么这两个数构成的分数肯定不是既约分数。一般来说为了简记,我们把求a,b的最大公因数记作(a,b),求最小公倍数记作[a,b],以下科普也会采用这种记号。

有了这些预备知识,我们就可以开始着手证明√2不是有理数的问题了。

针对其他根式也有类似的证法。让我们稍微再扯一点代数数论的内容,一切作为代数数的无理数都可以用这种方法去证明其是无理数,也就是说它们具有共通的性质:而这种性质在初等数论中被割裂开了,这也说明为什么有必要发展一门新学科代数数论。

好。回到初等数论。有了这些知识,以及我们初中学过的一元二次方程的韦达定理,我们已经可以参加IMO并且拿到铜牌了。至少在1988年的IMO如此:

本题的证明过程如下:

不过,之前说的“IMO拿铜牌”其实只是个玩笑。事实上我要是没告诉你这种解法的话,你可能究其一生也解不出来。为什么这样说?这道题真的有那么难?

这道题,陶哲轩只拿了两分。全奥委会专家加上澳大利亚四个数论大师4.5个小时的努力未触及本题实质。所以在科普之余,我也建议大家不要会了一点东西就去炫耀,因为我们(包括我自己)都还水平欠佳,还达不到能正确估计自己真实水平的地步,根本不知道自己有没有真正理解和掌握知识的深层次内容。所以,平常做人,谦虚点好。

对于这道题,我们真正要去了解的是它的思想。观察证明过程,你会发现它是设出了一个最小值,又找到了一个更小的,以此发生矛盾来解决证明题。这种方法在数论中叫做无穷递降法,一般用来解决不定方程求解的问题。当无穷递降法与韦达定理结合的时候,就如同上面这种做法,叫做韦达跳跃。

不仅是不定方程求解,即使是之前关于√2的无理性的证明,也可以使用无穷递降法。这个过程十分简单,大家可以自己思考思考,思考完之后可以参考百度上的过程(我懒得打了),如下:

可以看出,这是一种非常有效而强大的反证法。与其相对应的还有一种无穷递增法,但实际上无论是递增还是递降,本质都是一样的。利用同样的思路,我们采用无穷递增法,可以证明下列事实:

素数有无限多个。

当然不是。我可以很负责任的告诉你,这个概率神奇地扯上了圆周率!

(场下观众:???初等数论不是主要研究正整数的吗?最多也就扯上一点有理数,怎么圆周率都出来了?)

(场下一位有代数数论基础的观众:对啊对啊,就算你讲代数数论也是针对代数数讨论的,圆周率可是个超越数,怎么扯上关系的呢?)

这就要从400年前说起了。传说当时吴承恩梦见孙悟空大闹天空,然后起床就写了一本《西游记》……咳咳,拿错剧本了。不是400多年前,而是快400年了(376年)。

1644年,皮耶特罗·门戈利提出了一个著名的级数问题:

这个问题困扰了数学家们长达91年,最终在1735年由莱昂哈德·欧拉解决。它以瑞士第三大城市——同时也是欧拉的家乡——巴塞尔(Basel)命名,即著名的巴塞尔问题。

在今天来看,巴塞尔问题只是一个十分简单而初级的问题,任何掌握了高等数学知识的人都能给出其非严谨的推导。这个不严谨的推导也是欧拉在1735年给出的结果,而这个推导的严密化是在1741年呈递的。

接下来我们从麦克劳林级数展开式开始来说明欧拉的方法:

而巴塞尔问题利用傅里叶级数的证明则直接用帕塞瓦尔恒等式可得。

下面我们对:

作一些简单的变换。

为了使表达简洁明了,我们把极限符号去掉,写成:

则:

我们就得到了全体偶数平方和的准确值。

下面我们让上两式相减,得到:

我们又得到了全体奇数平方和的准确值。

但是,我们换个说法,全体奇数平方和,不就是全体正整数去掉所有2的倍数后得到的数列全体数的平方和吗?按这个操作的话,我们是不是能够再进一步去掉所有不是2的倍数的3的倍数、不是2、3的倍数的5的倍数……最终去掉所有合数呢?

下面我们来继续操作:

则:

显然我们也有:

反复不断操作下去,得到下式,其中 p 表示全体素数:

这个证明说明了,数学的各个分支之间都是有紧密的联系的,说不定你研究数论学着学着就跑到微积分以及复变函数上去了。顺带一提,上面的证明如果再往下延伸,我们就可以讲到上期的黎曼猜想了。

现在我们抛开任意取两个正整数互素的概率这个问题,我们来思考一种更简单的情况:

在小于 2n 的所有正整数之中挑出 n+1 个,其中存在两数互素的概率?

答案是百分之百。

(场下观众:走了走了不听了搞我心态。刚刚不是还说是跟圆周率有关吗?)

对于全体正整数而言,确实跟圆周率有关。但是我们现在加上了限制条件,问题就变得简单的多了。实际上,如果我们知道抽屉原理,本题就是一道很简单的题目。

抽屉原理:

把数量多于 n+1 的物体放到 n 个抽屉里,则至少有一个抽屉里的物体不少于两个。

这个原理是很直观也很显然的,我相信大家都能理解。但难点是抽屉的构造。我们来看一下第一个遇到这个问题的人:不到12岁的路易·波萨是如何回答的:

非常巧妙的构造!但是,为什么相邻的正整数必定互素呢?先别着急,自己随便举几个例子,是不是发现它们都不可能有公因子?实际上,我们有:

如何利用裴蜀定理说明相邻正整数一定互素呢?实际上令 x=1,y=-1 就可以很轻松的证明了

那么,本次科普也要接近尾声了。回顾我们讲过的全部内容,其实大部分时间都是在讨论互素、整除、最小公倍数、最大公因数这些正整数的性质。仅仅是正整数,就能延伸出如此多复杂而又优美的理论,其中有些问题甚至是当今人类的智慧解决不了的,比如哥德巴赫猜想:1742年6月7日,普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉,提出“任何偶数由4开始(即大偶数),都可以表示为两个素数的和;任何奇数由7开始,都可以表示为三个素数的和。后者是前者的推论,也可独立证明(已被解决)。”后世为了简记,就把大偶数表为一个不超过 a 个素数的乘积与一个不超过 b 个素数的乘积之和叫做 (a+b) 问题。陈景润完成的工作,也是最接近哥德巴赫猜想的一步,是大偶数表为一个素数和一个不超过二个素数的乘积之和,所以记作 (1+2),而不是1+2=3。同样的,哥德巴赫猜想是一个大偶数表为一个素数与另一个素数之和,所以记作 (1+1),不是1+1=2。如果让历代为哥德巴赫猜想心力憔悴的数学家们知道了现在大部分人口耳相传的“1+1=2还没被证明”,他们可能会被气活过来。

那么,本次科普到此已经介绍完了预计的所有内容。有缘的话下次再见啦~


我们是传播科普的学生大家庭,很高兴你能看到这里~

作 者:Delta

APC编辑部科普组

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