五猴分桃，你能解这个题目吗？(上期)

编者注：本文选自张景中院士《数学传奇》第27-30篇，该书出版于1982年（中国少年儿童出版社），不到100页，深入浅出地介绍了初等数学中一些有趣的问题，通俗易懂又发人深省。自1980年代以来，张景中先生就致力于面向中小学生的数学科普，并取得了非凡的成就，除了本书，他的《数学家的眼光》也深受读者喜爱，包括国际几何大师陈省身在内的大数学家对此都有高度评价。前些天有读者留言问起，是否有适合中小学生看的优秀的数学普及读物，张景中院士的作品，就是一个很好的选择。

猴子分桃子

这里有一大堆桃子。这是5个猴子的公共财产。它们要平均分配。

第一只猴子来了。它左等右等，别的猴子都不来，便动手把桃子均分成5堆，还剩了1个。它觉得自己辛苦了，当之无愧地把这1个无法分配的桃子吃掉，又拿走了5堆中的1堆。

第二只猴子来了。它不知道刚才发生的情况，又把桃子均分成5堆，可还是多了1个。它吃了这1个，拿1堆走了。

以后，每个猴子来了，都是如此办理。

请问：原来至少有多少桃子？最后至少剩多少桃子？

据说，这个问题是由英国物理学家、诺贝尔物理学奖得主狄拉克提出来的。1979年春天，美籍物理学家李政道，在跟中国科学技术大学少年班同学座谈时，也向他们提出过这个题目。当时，谁也没有能够当场作出回答，可见这个题目有点难。

知难而进。你能解这个题目吗？

动脑又动手

做数学题目，光凭脑子想，是不容易找到方法和得到结果的。

好。我们一起来动手写写算算吧。

设原有桃x个，最后剩下y个。那么，每一只猴子连吃带拿，得到了多少桃子呢?

第一只猴子吃了1个，又拿走了剩下的(x-1)个的1/5，一共得到

它走了，这里留下的桃子还有

第二只猴子连吃带拿，得到了桃子

也就是又从原数中减1、再乘4/5。

现在，我们找到解题的思路了：每来一只猴子，桃子的数目就来个变化——减1、再乘4/5。所以，当第五只猴子来过后，我们已对x进行5次这样的减1、乘4/5的操作了。

注意:在写的时候，每减1之后，要添个括号，再乘4/5。这样5次之后，便得到了又y。所以，我们有

这一堆符号，可真叫人眼花缭乱。要是你耐着性子，一步一步整理，应当得到

这样的一个等式，也就是

从这个式子里，我们不能断定x和y是多少[就中小学生而言，情况如此，稍后我们会介绍这类方程如何求解]。不过，因为x和y都是正整数，而4的4次方与5的4次方互素，所以5的5次方整除x+4,这样我们就可以算出x至少是

类似的，4的5次方整出y+4，所以y至少是

方法靠人找

要是你问这个五猴分桃，有没有简单一点的算法呢？回答是，有。

狄拉克本人，就提出过一个简单的巧妙解法。据说数学家怀德海，也提出了一个类似的解法。

奇怪的是:狄拉克和怀德海都没有想到，这个问题还有一个十分简单的解法。它只用到一点算术知识，是小学生也能算出来的。

这个筒单的解法，它的思路是从前面儿子分羊来的，又是先借后还！

桃子不是分不匀，总要剩下1个吗？问题的麻烦，就是因为多了1个桃子。

好。你来扮演一个助猴为乐的角色，借给猴子4个桃，这不就可以均分成5堆了嘛。反正最后还剩一大堆，你拿得回来的。

现在，让5只猴子再分一次。桃子虽然多了4个，可是第一个猴子并没有从中捞到便宜。因为这时桃子正好可以均分成5堆，它拿到的1堆，恰巧等于刚才你没有借给它们4个桃子时，它连吃带拿的数目。

这样，当第二只猴子到来时，桃子的数目，还是比你没借给它们时多了4个，又正好均分成5堆。所以，第二个猴子得到的桃子，也不多不少，和原来连吃带拿一样多。

第三、第四、第五只猴子到来时，情况也是这样。

5个猴子，每一个都恰好拿走当时桃子总数的1/5，剩下4/5；而开始的时候桃子的数目是x+4(加上了你借给它们的4个)。这样，到了最后便剩下，

个桃子，这比剩下的y个多4个。所以得到

跟刚才的结论一样。

同样的结论，可是得来全不费工夫！

问个为什么

题目做出来了。你不妨再想一想：这一借一还究竟是怎么回事呢？为什么一下子就把问题简化了呢？

关键在于，猴子每来一次，桃子的数目发生了什么变化？

在你没有错给它们4个桃子的时候，那情况是:每来一只猴子之后，桃子数就减1、再乘4/5，来5个猴子之后，就等于对x进行5次减1、乘4/5。

你看，减1乘4/5，再减1、乘4/5，再减1乘4/5，再减1、乘4/5，再减1、乘4/5，这一串运算多麻烦。

要是你先借出4个桃子，使每一个猴子来拿走1/5，然后你再把4个桃子拿回来，结果，和前面的计算结果完全一样。这个过程，相当于对桃子数目加4、乘4/5、再减4。也就是说：减1、乘4/5，相当于加4、乘4/5、再减4。用字母表示，就是

不信，你算一算，两边确实是恒等的。

这样看来，猴子每来一次，桃子数的变化有两种计算方法:一种是减1、乘4/5，另一种是加4、乘4/5、再减4。后一种计算方法是三步，看起来好象更麻烦了。其实，多次连续进行计算就显出它的优越性来了。你看：

加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4。

这中间有四次减4、加4，互相抵消，加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4；加4、乘4/5、减4。

总效果是：

加4、乘4/5、乘4/5、乘4/5、乘4/5、乘4/5、减4。

这是一个很好算的过程，那结果可以一下子写出来：

像这样把一个运算过程，变成另一个形变而值不变的运算过程，在数学上叫做等价方法。

思考题

1. 设有m个桃子，k只猴子，每个猴子来到之后，把桃子分成k堆，还剩下r个，它吃掉r个之后，又拿走了一堆。这样k个猴子都来了之后，至少还有多少桃子？

2. 桌子上有一壶凉开水，其中放了50克糖。一个孩子跑来，把糖水倒出一半喝掉，添上30克糖，加满水，和匀，走了。这样来过5个孩子之后，壶里还有多少糖？来过很多孩子之后，壶里的糖能增加到100克吗？

张景中院士在文中介绍了五猴分桃问题的两个解法，我们在后面补充两个解法，它们没有本质的不同，但观点有差别，侧重点也有所不同，仅供读者交流探讨，相信读者们也能给出其他不同的方法。

——林开亮

关于其他的两种解法，我们将在下期讲到，现在各位小伙伴们可以发散一下思维，想一想还有哪些解法，动脑不会老哦！

图文选自公众号好玩的数学(ID:mathfun)

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