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五猴分桃,你能解这个题目吗?(下期)

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上期《五猴分桃,你能解这个题目吗?(上期)》我们说到张景中院士在文中介绍了五猴分桃问题的两个解法。

本期我们将在后面补充两个解法,它们没有本质的不同,但观点有差别,侧重点也有所不同,仅供读者交流探讨。

解法一

这个解法摘译自哈尔莫斯的一篇通俗文章(全文将发表在丘成桐教授主编的“数学与人文”丛书某一期),译者是中国传媒大学的陈见柯教授。

五猴分桃,你能解这个题目吗?(下期)

狄拉克

狄拉克的解法可以称之为特征向量法或不动点法,如下:

假定桃子的个数为x,考虑任一猴子处理完桃子之后,剩下的桃子数量S(x)。 这个公式相对简单,即

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我们称整数x是一个解,如果用算子S操作5次以后的数为正整数。换言之,我们要找满足上述条件的最小正整数解。

注意到

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我们有

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因此

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对一切x和y都成立。这意味着如果x和y都是解,则x和y模5的5次方同余(即,x与y的差被5的5次方整除)。反之,若x是一个解,并且y跟x模5的5次方同余,则y也是一个解。

最容易想到的解,应该是对应于特征方程

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的特征向量,其解为

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因此最小的正整数解为

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注意:不变量(不动点、特征值、特征向量)的概念,或许是数学基本元素之一。

(作者:哈尔莫斯(Halmos))

解法二

回到最开始的方程,那里要求解方程

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的正整数解,这是两个未知数x,y的一次方程。我们将它化成标准形式,即得

五猴分桃,你能解这个题目吗?(下期)

回想起这方程的如何来的,可以发现,实际上我们选取中间一步得到的方程

五猴分桃,你能解这个题目吗?(下期)

来观察更可取。这意味着

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是方程的一个特解,要得出方程的所有解,只需要考察对应的齐次方程

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由于这两个系数1024与3125互素,所以容易得到,该齐次方程的通解为

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其中k为任意的整数。从而原方程的通解为

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其中k为任意的整数。特别地,为得到最小正整数解,只需要令k=1,这就得到

五猴分桃,你能解这个题目吗?(下期)

(作者:林开亮)

至此,我们这一期的讲解就算结束了,不过我相信聪明的读者还会有更多其他的解法的,可以在QQ群里与我们交流哦!

—END—


图文选自:

好玩的数学(ID:mathfun)

本文已获授权,转载请联系原作者。

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本文由奇点天文作者上传并发布,奇点天文仅提供文章投稿展示,文章仅代表作者个人观点,不代表奇点天文立场。

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24 条回复 A文章作者 M管理员
  1. 冷风勤奋

    科学要求一切人不是别有用心而心甘情愿地献出一切;以便领受冷静的知识的沉甸甸的十字勋章这个奖赏。

  2. 忧伤等于柜子

    热爱实践而又不讲求科学的人;就好象一个水手进了一只没有舵或罗盘的船;他从来不肯定他往哪里走。

  3. 溪流可靠

    凡是较有成就的科学工作者;毫无例外地都是利用时间的能手;也都是决心在大量时间中投入大量劳动的人。

  4. 悠宝三岁

    天才是不足恃的;聪明是不可靠的;要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的。

  5. 谦让向店员

    科学的界限就像地平线一样;你越接近它;它挪得越远。

  6. 画笔粗犷

    在新的科学宫里;胜利属于新型的勇敢的人;他们有大胆的科学幻想;心里燃烧着探求新事物的热情。

  7. 小熊维尼

    科学还不只在智慧训练上是最好的;在首选训练上也是一样。

  8. 桔梗

    科学决不是也永远不会是一本写完了的书。每一项重大成就都会带来新的问题。任何一个发展随着时间的推移都会出现新的严重的困难。

  9. 冷静的心情

    没有时间思索的科学家;那是一个毫无指望的科学家;他如果不能改变自己的日常生活制度;挤出足够的时间去思索;那他是最好放弃科学。

  10. 钢笔正直

    法律的生命在于其实施。因而迫切需要对怎样使大量立法和司法解释有效而进行认真的科学研究。

  11. 糖糖美少女

    科学还不只在智慧训练上是最好的;在首选训练上也是一样。

  12. 矮小就小猫咪

    科学的界限就像地平线一样:你越接近它

  13. 莫要问

    实践家

  14. 守夜人天文爱好者

    高深啊

    • 小A君科普

      嘿嘿嘿,还好,多看能看懂的,以前有的文章的确难懂,比如初等数论和庞加莱猜想等,可以去涨姿势哦

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