浅谈庞加莱猜想（下）

在上一节文章的末尾，我们给读者们留下了一个问题：文末对于庞加莱猜想的描述，是否真正的符合庞加莱猜想呢？现在就给大家揭晓谜底。

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正  文

我们再来看庞加莱最初提出的猜想：

在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是 一个三维的圆球。

我们现在知道，这个圆球是拓扑意义下可以做同胚变换的“圆球”。这是正确的吗？我 们好像想象不出其他的情形，但这并不足以说明这个猜想是对的。实际上它是错的，因为它 没有考虑流形的边缘。

什么是流形的边缘？

让我们从大家最熟悉的开区间和闭区间开始讨论。事实上，开区间就是一个无边缘的一维流形，而闭区间就是一个带边缘的一维流形。在初高中，我们是怎么用通俗易懂的手段来判断开闭区间的呢？是看这个区间包不包含端点。这个端点就称作一维流形的一个边缘。同样的，如果我们把区间的带边缘问题整体提升一个维度，来研究二维流形，那么我们判断的根据就是这个二维流形包不包含“边界线”。

如图，虚线代表不含圆周：

显然，前者是无边缘的，后者是带边缘的。

在这里我们要说明两个问题。首先不能像开闭区间那样按流形是否带边缘称作开闭流形。事实上，开闭流形都是无边缘流形，区别是紧致化的问题。这个问题我们不谈。

显然，一个无边缘三维流形，不能等同于带边缘（球面）的三维球体，所以我们说这个猜想是错的。庞加莱在1905年发现了他叙述中的错误，并对其进行了修改：

任何与三维球面同伦的三维封闭流形必定同胚于三维球面。

或者说：

任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。

这才是真正的庞加莱猜想。

我们刚刚才提过，二维球体（圆盘）的表面是一个一维球面（圆周），而三维球面实际 上是四维空间中的东西，它是平铺于四维球体上的一层没有四维“厚度”的膜。也就是说， 我们无法想象出三维球面（超球面）到底长什么样子。

不过，通过类比的方法、通过二维球面，我们可以想象、刻画或理解三维球面的可能性 质。在这里我们要介绍黎曼球面，它原本是黎曼(Riemann)在复分析中解释扩充复平面时引 入的一种球极投影。现在我们利用这种思路在实空间中将球面从球的顶极点 P 向平面射影：

这就把球面上除了极点 P 之外的所有点映射到了一个无穷大的零亏格平面上，而且这个 映射是双射且连续的（事实上其逆映射也连续）。接着黎曼定义平面上的无穷远处全部交于 一点，该点称为无穷远点，作为球面的 P 点映射到平面上得到的结果。在这个意义下，0 可 以作为除数，并且满足：

注意，在其他任何意义下该式都不成立。

也就是说，

同样的，三维球面也可以做类似的投影，它可以描述为无洞的三维空间（也就是三维单连通流形）加上一个无穷远点。但是，我们知道三维球面向三维空间的映射是双射且连续的， 并不知道其逆映射是否连续。也就是说，我们单知道三维球面可以被描述为三维单连通空间，不知道如果一个三维空间单连通，它是否一定能连续变化为三维球面。

这便是庞加莱猜想，他认为是这样的。

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尾  声

最后我们来简单说说庞加莱猜想的证明历史。

前期做庞加莱猜想的大部分数学家，比如怀特海德(J.Whitehead)、哈肯(Haken)等人，他们给出的证明都是有缺陷的，但也为拓扑学的发展打下了坚实的基础。在这里我们只单独提一下赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯(Χρήστος Δημητρίου Παπακυριακόπουλος)，简称 Papa。他把自己的一生都献给了庞加莱猜想，为此放弃了教授的职位。在他胃癌晚期撒手人寰的前段时间，他还将自己证明庞加莱猜想的手稿交给他的朋友过目。然而仅仅翻了几页，他的朋友就发现了错误，但为了让Papa 安心离去，朋友并没有告诉他。可以说，Papa的一生是一场悲剧，但对于他自己而言却是喜剧，因为他能够将自己的生命奉献给自己热爱的事业。

中期对庞加莱猜想作出巨大贡献的，主要是瑟斯顿(10)(Thurston)，他给出了几何化猜想，认为宇宙一定由八种基本拓扑形状构成，并利用几何化猜想证明了庞加莱猜想。然而，用猜想证明猜想当然是不严谨的，但瑟斯顿以跟希尔伯特(Hilbert)类似的理由(11)放弃了对几何化猜想的继续证明。他的理由是“要是证明出来了，年轻人就没有奋斗的动力了”。

最终，在克雷(Clay)数学研究所刚刚把庞加莱猜想加入“千禧年问题”后的不到三年， 佩雷尔曼(Perelman)便完成了瑟斯顿“几何化猜想”的证明。2002 年 11 月 12 日，佩雷尔曼在 arXiv.org 上公布了自己的证明，并在之后半年中又发布了两篇系列论文。这三篇文章概述了庞加莱猜想以及更一般的几何化猜想的证明，从而实现了哈密顿(Hamilton)提出的纲领。

到这里对庞加莱猜想的介绍就基本结束了，但我们还剩最后一个问题没有解决：为什么一个连数学符号语言都没有的、完全用自然语言描述的看似“显然”的猜想能困扰历代整整九十九年的数学家？

这个看似直观显然的猜想为什么如此难以证明，事实上是一般人难以理解的。所以在这里，我们不妨用问题来解释问题：如何证明一条闭合曲线把平面分为两部分呢？

这看起来可比庞加莱猜想显然多了，然而它的证明也是十分困难的，需要以基本群为工具才能给出证明。它的学名是 Jordan 曲线定理，直到 1905 年才出现第一个正确的证明。用自然语言叙述，它可能是一目了然的；但用数学语言叙述：

看起来就没那么显然了。庞加莱猜想，也是类似的道理。所以，在科普的最后，我也要建议大家，不要认为表面显然的真实就是易懂的事实。不仅数学如此，人生，不也是一样的吗？

（ 全 文 完 ）

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注    释

(1) 本文所使用的数学计算机辅助程序为 Mathematica。该收缩过程可以用 gif 图展示， 但是我的电脑在处理以下代码时失败了，有兴趣且电脑配置比较好的读者可以试着自己展示一下，代码见下：

(2) 这个秀儿一般的三维体是这样得到的：

(3) 除特别说明以外，本文讨论范围均在实空间内。

(4) 区别实际上是存在的，但是并不存在于 1935 年之前的大部分拓扑学家脑海中。一 直到惠特尼(H.Whitney)提出了微分流形的严格概念之后，微分拓扑才真正开始兴起，拓扑学 家才开始在原先同胚的基础上考虑“微分同胚”，即从连续过渡到光滑。比如，球体的表面 显然是处处光滑的，但正方体却存在八个不光滑的奇点；所以这两个几何体虽然同胚但并不微分同胚。除特别说明以外，本文讨论范围均不包含微分性质。

(5) 四色定理的证明其实和庞加莱猜想还有一定的渊源。沃夫冈·哈肯(Wolfgang Haken) 在证明庞加莱猜想的过程中发现了自己的一个致命错误，这次失败让 Haken 博士陷入了暴食 症，后来被人戏称为“庞加莱猜想综合症”。最终在 Haken 转向研究“四色问题”后该病不治而愈了，而他最终也利用机器证明给出了四色定理的答卷（尽管并不是所有人都满意）。

(6) 圆环面的绘图：

(7) 如下：

(8) 图源自百度百科对“亏格”的介绍。

(9) I = [0,1].

(10) 斯梅尔(Smale)也在庞加莱猜想方面作出了一定的贡献，但他所做的工作并不是证 明我们上文提到的常规的庞加莱猜想，而是证明了高维的、较简单的庞加莱猜想：

任何与 n 维球面同伦的 n 维封闭流形必定同胚于 n 维球面，其中 n ≥ 5。

为什么高维的庞加莱猜想还要更简单？这就牵扯到纽结理论了。高维的情形下闭合曲线 收缩的过程中不会打结，但三维中是会出现扭结的。

(11) 希尔伯特当年拒绝证明费马大定理(Fermat’s Last Theorem)的理由是：“这是一只会下金蛋的鹅，我为什么要杀掉它？”

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作 者：Delta

APC编辑部科普组

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