数学家证明126维存在奇异的扭曲形状

数学家历经65年，证明126维存在奇异扭曲形状，揭示高维空间的独特个性，颠覆直觉，掀开拓扑学新篇章。

在三维世界里，我们对空间的直觉似乎天经地义：无边无际，均匀一致。增加一个维度，不过是多了一个移动方向，空间的本质应该不变。然而，高维空间却像个性格迥异的陌生人，藏着令人费解的秘密。比如，第8维和第24维的球体可以堆叠得异常紧密；某些维度里，球体皱巴巴得像“异类”；而只有第3维能容纳打结的绳子——在更高维度，任何绳结都能在两端固定的情况下被解开。

65年前，数学家们开始追问：哪些维度能孕育出特别扭曲的形状？这些形状怪到无法通过一种叫“手术”的方法变成普通球体。这个问题不仅关乎形状本身，还触及拓扑学核心：不同维度球体之间的关系。多年来，研究者发现，第2、6、14、30和62维存在这种扭曲形状，并且证明其他维度都不可能有此类怪胎——除了一个例外：第126维，始终是个未解之谜。

去年12月，来自上海复旦大学的Weinan Lin和Guozhen Wang，以及加州大学洛杉矶分校的Zhouli Xu，联手破解了这个悬案。他们在网上发布的论文证明，第126维确实能容纳这些奇形怪状。“这是一个漫长的征程，终于画上句号，”牛津大学的Ulrike Tillmann感叹道。哈佛大学的Michael Hopkins则形容这项证明如同“宏大的工程壮举”，让人瞠目结舌。

故事的起点要追溯到1950年代。当时，John Milnor震惊数学界，揭示第7维存在“异类球体”。这些球体在拓扑学看来和普通球体无异——因为拓扑学只关心形状在拉伸或变形后不变的特征。但它们的“光滑”定义却完全不同：一条在普通球体上光滑的曲线，在异类球体上可能显得崎岖不平。Milnor发明了一种叫“手术”的技术，通过切割流形(数学中的一种抽象形状)并缝合新部分，试图将其转化为球体。这项技术后来成为研究流形的基础工具。

想象一个二维的甜甜圈表面(环面)，我们可以通过手术把它变成一个二维球面：切掉一块，缝上新部分，确保接缝光滑无棱角。结果是个普通球面——二维不存在异类球体。但在某些维度，手术可能生成普通球体，也可能生成异类球体，甚至还有一种可能：某些流形无论如何都变不成球体。比如，一个被特别“扭”过的环面，就无法通过手术变成球体，它属于完全不同的流形类别。

1960年，法国数学家Michel Kervaire提出了一种“不变式”，用一个数字来判断流形能否通过手术变成球体：0表示可以，1表示不行。普通环面的Kervaire不变式是0，而那个扭曲环面是1。Kervaire还发现一个10维流形，奇特到连不变式都没有，意味着它完全无法定义光滑性。这种怪物的存在，让数学家们兴奋不已，纷纷研究不同维度流形的Kervaire不变式。

很快，他们发现第2、6、14和30维存在Kervaire不变式为1的扭曲流形。这些维度有个规律：每个都是2的幂减去2(比如30是2的5次方减2)。1969年，William Browder证明，只有这类维数可能存在此类流形，比如62、126、254维等。数学家们一度以为，所有这类维度都有扭曲流形，甚至有人据此构建了一系列关于异类球体的猜想。但一个“末日假说”始终挥之不去：如果这些维度里没有扭曲流形，那些猜想都会崩塌。

1984年，数学家们确认第62维存在扭曲流形，但更高维度的搜索却屡屡无果。问题渐渐被冷落，直到2009年，Victor Snaith写了一本书，探讨Browder列表中所有维度存在Kervaire不变式为1流形的可能性。他在序言中警告，这可能是一本“关于不存在之物”的书。果不其然，出版后几周，Hopkins等人宣布，末日假说成真：第254维及以上不存在此类流形。唯一悬而未决的，只剩第126维。

2011年，Zhouli Xu作为研究生来到芝加哥大学，计划研究流形的计算问题。他的导师Peter May建议他挑战第126维问题，但西北大学的Mark Mahowald——一位Kervaire不变式专家，甚至将自己的帆船命名为“θj”——认为这太难，劝他先从低维问题入手。尽管如此，第126维始终让Xu魂牵梦绕。

解决这个问题的关键，藏在“稳定同伦群”中。这些群是一组函数集合，描述了高维球面到低维球面的映射。比如，一个44维球面映射到33维球面，会“压扁”11维。每个低维球面上的点，对应高维球面上的一个11维流形。稳定同伦群就像一个装满流形的“桶”，每个桶代表一种映射。

要确定某维度的Kervaire不变式，只需研究该维度的稳定同伦群。但这谈何容易！罗彻斯特大学的Douglas Ravenel直言，这可能是他孙女辈都解不开的难题。于是，数学家们转而借助“亚当斯谱序列”，一个巨大的点阵图谱，记录稳定同伦群的结构。

这个图谱像一本有无限页的书，每页有无限列，每列代表一个维度，每列中的点代表该维度映射的“风味”——比如Kervaire不变式为0或1。翻页就像用更强的望远镜观察流形：早期页面模糊不清，包含许多不应存在的流形；越往后，细节越清晰，直到“无穷页”呈现真相。如果某个点在后续页面消失，说明对应的流形有缺陷，不存在。

Browder曾指出，第126列的一个特定点是关键：如果它存活到无穷页，第126维就有Kervaire不变式为1的流形；否则，只有不变式为0的流形。这个点可能在105种情况下消失。Xu与老友Guozhen Wang合作，开发新的计算方法，又拉上Weinan Lin编写程序，排除了101种可能。接下来一年，他们苦心钻研，逐一否定了最后四种可能。最终，他们确认，这个关键点存活到了无穷页——第126维确实存在扭曲流形。

“这项计算堪称英雄壮举，”Hopkins说。他们的方法或许能帮助数学家进一步绘制这个庞大图谱。然而，证明存在是一回事，构造这些流形又是另一回事。在第2、6、14和30维，数学家已找到具体例子，但在62和126维，这些扭曲流形仍像幽灵，遍布却无迹可寻。“它们占了一半的可能形状，却没人能指认一个，”Tillmann感叹。

如果能构造出62维和126维的扭曲流形，或许能揭示这六个特殊维度(2、6、14、30、62、126)的奥秘。Hopkins期待某种“优美的构造”能解开谜团，“它必须恰到好处，只在这六个数上生效。”最近，Xu和哥本哈根大学的Robert Burklund发现，图谱第三行的一些维度也藏着奇异行为，可能对应新的怪流形。

站在第126维的终点，Xu眺望未来：“还有更多故事，等着我们去探寻。”这些高维怪物的秘密，正慢慢揭开面纱，数学的冒险远未结束。

本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。