1是质数吗？这场数学争论引人入胜

1究竟是不是质数？从古希腊到现代数学家，这个问题引发了激烈争论。探索1的独特属性，揭秘数学定义背后的灵活性与美感。

1是否为质数？这个问题看似简单，却能在街头巷尾引发困惑，也能在数学家的书房里掀起热议。如果你随意问一个路人，他们可能会愣住，试图回忆课堂上的知识，支吾着回答“不是”或“是”，甚至干脆加快脚步躲开。而如果你问一位数学家，他们可能会微笑着说：“这个问题很有趣，背后还有一段精彩的故事……”

在数学的早期，1的地位并不明确。古希腊的毕达哥拉斯学派认为，1不是一个真正的数字，而是所有数字(如2、3等)的“单位”本源，因此自然不可能是质数。Euclid虽然不属于这一学派，却也认同2才是第一个质数。然而，希腊思想并非铁板一块。Plato的侄子Speussippus就坚称1不仅是数字，还是质数。这种争议并非古代的专利。18世纪的数学巨匠Leonhard Euler在与数论学家Christian Goldbach的通信中，将1视为质数。甚至到了20世纪，G. H. Hardy在其早期著作中也曾将1列入质数之列。

这些数学家是糊涂还是疏忽？恰恰相反。他们展现了优秀数学家的特质：对术语保持灵活态度，愿意尝试不同的定义，直到找到最合适的表达方式。Euler和Hardy有时将1视为质数，有时又不如此，这反映了他们对数学本质的深刻洞察。毕竟，1在某些方面确实与质数有相似之处。比如，Euclid的引理指出，若一个质数p能整除两个整数的乘积，则p必能整除其中至少一个整数。1完全符合这一性质，尽管这种符合显得有些“理所当然”。

然而，现代数学界已达成共识：1不是质数。那么，1是合数吗？像4、6、8这样可以分解的数字？答案是否定的。1914年，数论学家D. N. Lehmer在编纂质数表时，坦言1显然不像6那样是合数，但若不将其列入质数，就得为1单独开辟一个类别。这让他感到不妥，于是他选择将1列为质数。1的独特性显而易见：它是唯一一个自身倒数仍为自身的正整数。在扩展到负整数时，1有了“伙伴”−1，二者都是自己的倒数。进一步扩展到复数域，i和−i也展现出类似的对称美感。

这种独特性在代数数论中尤为突出。Carl-Friedrich Gauss开创的这一领域，研究形如a + bi(a、b为整数)的高斯整数，或形如a + b√2的数域。在这些数域中，能找到倒数仍在同一域内的“单位”元素。普通整数中，只有1和−1是单位；而在高斯整数中，1、−1、i、−i四者皆是单位。更令人着迷的是，在形如a + b√2的数域中，单位数量无穷多，例如1 + √2与−1 + √2互为倒数。这种“单位”概念让1不再孤单，它成为数学世界中一个充满活力的角色。

为何Lehmer执着于将1视为质数？或许与词源有关。希腊人称质数为“protoi arithmoi”，意为“第一数字”，拉丁语“primus”也有类似含义。1是我们计数时的第一个数字，怎能不被视为“第一数字”？然而，现代数学家逐渐摒弃了这一观点，原因在于将1视为质数会带来诸多不便。比如，Eratosthenes的筛法通过依次剔除2、3、5等的倍数来筛选质数。如果将1视为质数，第一步就得剔除1的所有倍数——也就是所有数字，筛法瞬间崩溃。显然，1需要特殊对待。

另一个例子是算术基本定理，它保证每个合数都能唯一分解为质数的乘积。如果1是质数，6的分解将不再唯一：2×3、1×2×3、1×1×2×3……无穷多分解方式让定理变得繁琐。尽管可以通过重新定义来规避，但这种复杂性让数学家们选择将1排除在质数之外。

想象一场虚拟的数学派对，Christian Goldbach坚持1是质数，因为他的著名猜想(每个大于2的偶数可表示为两个质数之和)在1为质数时表述更简洁。我会承认他的猜想确实因此更优雅，但随即指出，像Gauss的二次互反律这样的定理，在不将1视为质数时表述更自然。正在这时，Nicomachus of Gerasa插话，嘲笑我将2视为质数。他认为只有奇数才是质数，3才是第一个质数，因为二次互反律在处理奇数质数时更简洁。我们三人争论不休，但核心在于：我们讨论的数学事实——如分解的唯一性或二次互反律——并无分歧，争议仅在于如何定义“质数”。

数学定义并非永恒的真理，而是人类为了清晰与美感做出的选择。教师强调定义的精确性无可厚非，但这可能让学生误以为定义是天皇圣旨。实际上，数学的真理超越了语言的藩篱。二次互反律的真理对Goldbach、Gauss、Nicomachus乃至你我都同样成立，即便我们对“质数”的定义各异。

所以，1是不是质数重要吗？或许并不重要。但这种“不重要”本身，却揭示了数学定义的灵活性与人类创造的深邃之美。

本文译自 mathenchant，由 BALI 编辑发布。